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lunes, 14 de noviembre de 2016

Fundamentos Teóricos


Definición de la Transformada de Laplace

Muchos de los sistemas físicos se expresan matemáticamente en función de ecuaciones diferenciales. La Transformada de Laplace es un método que involucra la conversión de ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas facilitando el proceso de solución.

Por definición la Transformada de Laplace es una transformación integral de una función f (t) del dominio temporal al dominio de la frecuencia compleja, lo que da por resultado F(S). Dada una función f (t), su Transformada de Laplace, denotada por F(s) o [ ] se define como:



La variable compleja s tiene la dimensión de la frecuencia y la unidad de segundo inverso (s-1).



Propiedades de la transformada de Laplace:





Funciones mas utilizadas en sistema de control:





Función de Transferencia:

La función de transferencia de un sistema muestra cómo modifica la salida ante un cambio en la entrada, señalando que no existe energía inicial.

Matemáticamente, la función de transferencia, de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI), es la relación de la Transformada de Laplace de la señal de salida y la Transformada de Laplace de la señal de entrada, suponiendo condiciones iniciales iguales a cero. Es el cociente de la respuesta Y(s) a la salida y la excitación





Utilizando el concepto de función de transferencia se puede representar la dinámica de un sistema por ecuaciones diferenciales en “s”. Trabajar con funciones de transferencia simplifica el manejo matemático de los sistemas, dado que las ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas lineales, y las operaciones en el dominio de la frecuencia compleja s son multiplicaciones simples. Un mismo sistema puede tener distintas funciones de transferencia: la función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida.

Para hallar la función de transferencia de un sistema:

- Identificar las ecuaciones de equilibrio o leyes físicas involucradas en el sistema.

- Siguiendo las ecuaciones de equilibrio plantear las ecuaciones integrodiferenciales correspondientes a cada variable de interés.

- Obtener la Transformada de Laplace de cada ecuación considerando condiciones iniciales cero.

- Relacionar la variable de salida con la variable de entrada.

Polos y Ceros de una Función de Transferencia

La función de transferencia G(s) de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se puede expresar como el cociente de dos polinomios en s:


Se puede factorizar obteniendo las raíces de los polinomios  P(s) y Q(s) de la forma:




Se denominan “ceros” las raíces del numerador de la función G(s). Son los valores z1, z2…zm para los cuales la función G(s) se anula. Son las raíces del polinomio P(s).

Las raíces del denominador de G(s) se llaman “polos”. Son los valores p1,p2, …pn para los cuales la función se hace infinita. Son las raíces del polinomio Q(s), denominador de la función de transferencia G(s)

La constante multiplicadora, ganancia o factor de escala K es la relación de los coeficientes principales de los polinomios del numerador y del denominador.

Polos: son los valores de la función de transferencia que hacen que el denomidador sea igual a cero.




Ceros: son los valores de la función de transferencia que hacen que el numerador se haga cero.




Diagrama De Bloques
Un diagrama de bloques funcional o diagrama de bloques de procesos es la representación gráfica de los diferentes procesos de un sistema y el flujo de señales donde cada proceso tiene un bloque asignado y éstos se unen por flechas que representan el flujo de señales que interaccionan entre los diferentes procesos.

Las entradas y salidas de los bloques se conectan entre sí con líneas de conexión o enlaces. Las líneas sencillas se pueden utilizar para conectar dos puntos lógicos del diagrama, es decir:
·         Una variable de entrada y una entrada de un bloque
·         Una salida de un bloque y una entrada de otro bloque
·         Una salida de un bloque y una variable de salida

Se muestran las relaciones existentes entre los procesos y el flujo de señales de forma más realista que una representación matemática.
Del mismo modo, tiene información relacionada con el comportamiento dinámico y no incluye información de la construcción física del sistema.
Muchos sistemas diferentes se representan por el mismo diagrama de bloques, así como diferentes diagramas de bloques pueden representar el mismo sistema, desde diferentes puntos de vista.


Bloque de modelo matemático.
En los diagramas de bloques funcionales se pueden describir el comportamiento de sistemas físicos o reales descritos por un modelo matemático no obstante es muy importante utilizar estos diagramas. Estos diagramas y sus relaciones están definidas y tienen reglas básicas que mejoran el análisis mediante su comprensión. Un modelo matemático lineal en el dominio de la frecuencia puede tener representación mediante los elementos que se describen a anteriormente.

Propiedades de los diagrama de bloques:




Ejemplo:






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