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martes, 16 de agosto de 2016

Algebra boole

 Definición de Álgebra de Boole. Postulados.
Se define como álgebra de Boole a un sistema matemático con un conjunto de elementos B y dos operaciones binarias cerradas (·) y (+) siempre y cuando se cumplan los siguientes postulados:


P1.- las operaciones tienen la propiedad conmutativa.
a+b = b+a
a·b = b·a

• P2.- las operaciones son distributivas entre sí
a·(b+c) = a·b + a·c
a+(b·c) = (a+b)·(a+c)

• P3.- las operaciones tienen elementos identidad diferentes dentro de B. Estos elementos son definidos como 0 para (+) y 1 para (·).
a+0 = a
a·1 = a

• P4.- para cada elemento, a, del conjunto B, existe otro elemento denominado complemento, a también del conjunto B, tal que se cumple:
a+a = 1
a·a = 0
Como podemos ver, en cualquier álgebra booleana se cumple el principio de dualidad:
Cualquier teorema o identidad algebraica deducible de los postulados anteriores puede transformarse en un segundo teorema o identidad válida sin mas que intercambiar las operaciones binarias y los elementos identidad.

Como en cualquier álgebra, podemos disponer de constantes y de variables. Así,
una constante se define como cualquier elemento del conjunto B.
Mientras que una variable es un símbolo que representa un elemento arbitrario del álgebra, ya sea una constante o una fórmula algebraica completa.

 Teoremas del Álgebra de Boole.
En cualquier álgebra de Boole se pueden demostrar los siguientes teoremas:
Teorema 2.1.- El elemento a del 4º postulado (denominado complemento o negación de a) está unívocamente determinado, es decir, es único. Demostración.- Supongamos que existen dos complementos de a: a1 y a2.
a2 = a2·1 = a2·(a+ a1) = a2·a + a2·a1 = a·a1 + a2·a1 = (a + a2)·a1 = a1
Teorema 2.2.- (o Teorema de elementos nulos) Para cada cualquier elemento a, se verifica
a+1 = 1 y a·0 = 0
Demostración.
a+1 = 1·(a+1) = (a+a’)·(a+1) = a + a’·1 = a + a’ = 1 a·0 = a·0+0 = a·0 + a·a’ = a·(a’+0) = a·a’ = 0
Teorema 2.3.- Cada uno de los elementos identidad es el complemento del otro, es decir, 1’ = 0 y 0’ = 1 Demostración.- Si fuese cierto, deberían cumplir el cuarto postulado del álgebra:
1 = 0 + 0’ 0 = 0 · 0’
Por ser único l complemento: 0’ = 1
1 = 1 + 1’ 0 = 1 · 1’
Por ser único el complemento: 1’ = 0
Teorema 2.4.- (o Teorema de idempotencia) Para cada elemento a, se verifica:
a + a = a a · a = a
Demostración.
a + a = a + a · 1 = a + a · (a + a’) = a + a · a + a · a’ = a · (1 + a) = a · 1 = a a · a = a · a + 0 = a · a + a · a’ = a·(a + a’) = a·1 = a

Teorema 2.5.- (o Teorema de involución) Para cada elemento de a, se verifica que el complemento del complemento de a es a, es decir, (a’)’ = a 

a’ + (a’)’ = 1 = a + a’ = a’ + a −> a = (a’)’ a’ · (a’)’ = 0 = a · a’ = a’ · a −> a = (a’)’

Teorema 2.6.- (o Teorema de absorción) Para cada par de elementos, a y b, se verifica:
a + a · b = a a · (a + b) = a
Demostración.
a + a · b = a · 1 + a · b = a · (1 + b) = a · 1 = a a·(a + b) = (a + 0) · (a + b) = a + 0 · b = a

Teorema 2.7.- Para cada par de elementos, a y b, se verifica:
a + a’ · b = a + b a · (a’ + b) = a · b
Demostración.
a + a’ · b = (a + a’)·(a + b) = 1·(a + b) = a + b a · (a’ + b) = a · a’ + a · b = a · b

Teorema 2.8.- (o Leyes de DeMorgan) Para cada par de elementos, a y b, se verifica
(a + b)’ = a’ · b’ (a · b)’ = a’ + b’ Demostración.- Se comprobará si se satisface el cuarto postulado
a + b + (a + b)’ = a + b + a’ · b’ = a + a’ · b’ + b + b’ · a’ = = a + b’ + b + a’ =  a + a’ + b + b’ = 1 + 1 = 1
(a + b) · (a’ · b’) = a · a’ · b’ + b · b’ · a’ = b’ · 0 + 0 · a’ = 0 + 0 = 0
a · b + (a · b)’ = a · b + a’ + b’ = a · b + a’ + a · b + b’ = = a + a’ + b + b’ = 1 + 1 = 1 a · b · (a’ + b’)  = a · a’ · b + a · b · b’ = 0 · b + a · 0 = 0 + 0 = 0

Teorema 2.9.- (o Leyes de DeMorgan generalizadas) Para cualquier conjunto de elementos se verifica:
(X0 + X1 + … + Xn) = X0 · X1 · … · Xn (X0 · X1 · … · Xn) = X0 + X1 + … + Xn

Teorema 2.10.- (o Teorema de asociatividad) Cada uno de los operadores binarios (+) y (·) cumple la propiedad asociativa, es decir, para cada tres elementos, a, b y c, se verifica
(a + b) + c = a + (b + c) (a · b) · c = a · (b · c)
 Aritmética binaria.
Una vez visto el álgebra de Boole, y en particular el de conmutación, pasaremos a ver como se harían las operaciones más básicas de la aritmética (suma, resta, multiplicación y división) utilizando el código binario.

 Suma binaria.
La suma binaria tiene dos salidas: suma y acarreo. La salida suma es el resultado, mientras que el acarreo es lo que se le añade a la siguiente suboperación. La tabla de combinaciones para la suma de dos entradas es la tabla 2.10, que se encuentra junto a un ejemplo:


Resta.
La resta binaria tiene dos salidas: resta y desbordamiento. La salida resta es el resultado, mientras que el desbordamiento es lo que se le vuelve a restar a la siguiente suboperación, como si fuese un nuevo substraendo. La tabla de combinaciones para la suma de dos entradas es la tabla 2.11, que se encuentra junto a un ejemplo



-Complemento.
Al igual que la resta de los números reales se puede ver como la suma del número negativo, en la resta binaria se puede hacer lo mismo. El número negativo en binario es el denominado complemento a dos de dicho número, representado por 2B. El complemento a dos de un número binario se calcula invirtiendo dicho número y sumarle 1 a la inversión, como podemos ver en el siguiente ejemplo:


Otra forma de obtener el complemento a dos es la siguiente: empezando por la derecha se deja todo igual hasta encontrar el primer 1 (inclusive) y a partir de ahí se invierte la parte restante bit a bit.

En el caso de que el resultado sea negativo, tanto con la suma con el complemento a dos como en la resta binaria, el número que se obtiene es el número negativo binario, y por tanto, el complemento a dos del número en cuestión.

 Desplazamiento.
En el caso que queramos realizar operaciones complejas (multiplicación y/o división) con números de potencia de dos (2, 4, 8, 16, 32), éstas resultan muy simples por propia construcción del código binario. La multiplicación (división) por 2n se realiza desplazando el punto decimal n dígitos a la derecha (izquierda). En el caso de que no existan más dígitos, se rellenarán con ceros. Esta forma se puede demostrar por la expresión polinómica de los números binarios. 


 Multiplicación.
La multiplicación de dos números binarios cualesquiera se basa en la tabla 2.12 de combinaciones: 



Después se realiza la suma de los productos parciales (como en el caso decimal). Así, mostramos como ejemplo la multiplicación de 5.75 x 5 = 28.75.
 División.
La división es la operación más compleja, realizándose generalmente a través de una algoritmo. El algoritmo que vamos a emplear será el siguiente. El divisor se alineará con la parte más significativa (más a la izquierda) del dividendo y se restará. Si el resultado de esta resta es negativo, al cociente se le añade un cero a la derecha y el divisor se desplaza un dígito a la derecha y volvemos a restar. Si el resultado es positivo, al cociente se le añade un 1 a la derecha y al resultado de la resta se le añade el dígito inmediatamente siguiente de la derecha del dividendo, y se vuelve a empezar. A continuación, vemos en la figura 2.2, y a modo de ejemplo, la división correspondiente a 45/5:

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